Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Связанные определения

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы

Площадь поверхности и объём шара радиуса определяются формулами:

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения

Пусть дано метрическое пространство . Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке и радиусом называется множество

• Замкнутым шаром с центром в и радиусом называется множество

Замечания

Шар радиуса с центром также называют -окрестностью точки .

Свойства

• Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой .
• Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой .
• По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке являют собой её базу.
• Очевидно, . Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром:
  • Например: пусть  — дискретное метрическое пространство, и состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого имеем:

Примеры

• Пусть  — евклидово пространство с обычным Евклидовым расстоянием. Тогда

• если (пространство — прямая), то

 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.

• если (пространство — плоскость), то

 — открытый и замкнутый диск соответственно.

• если , то

 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

• В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве метрику следующим образом:

Тогда

• если , то  — это открытый квадрат с центром в точке и сторонами длины , расположенными по диагонали к координатным осям.
• если , то  — это открытый трёхмерный октаэдр.

См. также

• Шаровой слой
• Гиперсфера
• Сферический слой

Литература

• Шар, геометрическое тело // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки на онлайн калькуляторы

• Вычисление объема и площади шара. Архивировано из первоисточника 1 декабря 2012.
• Онлайн-калькуляторы. Архивировано из первоисточника 1 декабря 2012.
• Математические этюды. Архивировано из первоисточника 1 декабря 2012. Мультфильм про объём шара